martes, 1 de diciembre de 2015

Teorema y Relaciones

Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.
El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial \tbinom nb o \tbinom nc (los dos tienen el mismo valor).

Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k)\, o C^n_k ) se obtiene la siguiente representación:
(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k
El coeficiente de x^{n-k}y^k\, en el desarrollo de (x+y)^n\, es {n\choose k}
donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:
(2)\begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,


Relación de recurrencia
En matemática, una relación de recurrencia es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores.

Definición

Una ecuación recurrente es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión a_0, a_1, a_2, \ldots es una ecuación que relaciona a_n \, con alguno de sus predecesores a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} . Las condiciones iniciales para la sucesión a_0, a_1, \ldots son valores dados en forma explícita para un número finito de términos de la sucesión.1

Resolver una relación de recurrencia consiste en determinar una fórmula explícita (cerrada) para el término general a_n\, , es decir una función no recursiva de n.
Hay dos métodos para resolver relaciones recurrentes: iteración y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Un ejemplo de una relación de recurrencia es el siguiente:
x_{n+1} = rx_n(1-x_n) \,
Algunas definiciones de recurrencia pueden tener relaciones muy complejas (caóticas), y sus comportamientos a veces son estudiados por los físicos y matemáticos en un campo conocido como análisis no lineal.

Resolución

Iteración

Para resolver una relación de recurrencia asociada a la sucesión: a_0, a_1, a_2 \, por iteración, utilizamos la relación de recurrencia para escribir el n-ésimo término a_n \, en términos de algunos de sus predecesores. Luego utilizamos de manera sucesiva la relación de recurrencia para reemplazar cada uno de los términos por algunos de sus predecesores. Continuamos hasta llegar a alguno de los casos base.

Recurrencias Lineales

Una relación de recurrencia es lineal de grado k si tiene la siguiente estructura:
c_0(n)a_n + c_1(n) a_{n-1} + \dots + c_{k-1}(n) a_{n-k+1} + c_k(n) a_{n-k} \,= 0
siendo c_i(n) \, funciones reales de n \, , y F(n) \, una función de n.
El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia está definido como una función lineal de sus términos anteriores. El orden de una relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos por la definición.
En la relación a_n = a_{n-2} \, el orden es dos, porque debe haber al menos dos términos anteriores (ya sean usados o no).
Ejemplos :
3 a_n - {n-1} a_{n-1} + 2 a_{n-2} = 0 \,

Ecuación de Recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes

Se llama ecuación de recurrencia lineal homogénea de grado k, con coeficientes constantes, a una expresión del tipo:
a_n + c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \cdots + c_k a_{n-k} = 0 , c_i \in \mathbf{R} , c_k \ne 0
Para poder encontrar una solución, hacen falta unas condiciones de contorno o iniciales a_0 , a_1 , \cdots , a_{k-1} , siendo k el grado de la ecuación.
La recurrencia lineal, junto con las condiciones iniciales a_0 , \cdots , a_{k-1} , determinan la secuencia única.
Sea la ecuación de recurrencia lineal homogénea de orden k anterior, se denomina ecuación característica a la ecuación de grado k:
x^k + c_{1} x^{k-1} + \cdots + c_{k}
La generación de la función racional
Las secuencias lineales recursiva son precisamente las secuencias cuya función de generación es una función racional: el denominador es el polinomio auxiliar (a una transformación), y el numerador se obtiene con los valores iniciales.
El caso más sencillo son las secuencias periódicas,a_n = a_{n-d}, n≥d que tienen secuencia a_0, a_1, \cdots, a_{d-1}, a_0, \cdots y función de generación una suma de una serie geométrica:
\begin{array}{ll} \cfrac{a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}}{1 - x^d} = & ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) + \\ & ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) x^d + \\ & ( a_0 + a_1 x^1 + \dots + a_{d-1} x^{d-1}) x^{2d} + \\ & \dots \end{array}
Más general, dada la relación de recurrencia:
a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_d a_{n-d} \,
con función de generación
a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots
la serie es aniquilada por a_k y anteriormente por el polinomio:
1 - c_1x^1 - c_2x^2 - \cdots - c_d x^d
Eso es, multiplicando la función de generación por el polinomio
b_n = a_n - c_1 a_{n-1} - c_2 a_{n-2} - \cdots - c_d a_{n-d}
como el coeficiente en x^n, que desaparece (por la relación de recurrencia) para n ≥ d. Así:
( a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \dots ) ( 1 - c_1 x^1 - c_2 x^2 - \dots - c_d x^d) = ( b_0 + b_1 x^1 + b_2 x^2 + \dots + b_{d-1} x^{d-1})
como dividiendo:
a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \dots = \cfrac {b_0 + b_1 x^1 + b_2 x^2 + \dots + b_{d-1} x^{d-1}} {1 - c_1 x^1 - c_2 x^2 - \dots - c_d x^d}
expresando la función de generación como una función racional. El denominador es x^d p(1 / x) , una transformación del polinomio auxiliar (equivalente, invirtiendo el orden de los coeficientes); también se puede usar cualquier múltiplo de esta, pero esta normalización es elegida por ambas porque la relación simple del polinomio auxiliar, y de ese modo b_0 = a_0 .
Relación con la diferencia de ecuaciones
Dada una secuencia \{ a_n \} \, de números reales: la primera diferencia d ( a_n ) \, se define como a_n - a_{n-1} \,
La segunda diferencia d^2 ( a_n ) \, se define como d (a_n) - d(a_{n-1}) \, ,
que se puede simplificar a a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2} \, .
Más general: la diferencia d^k \, se define como d^{k-1}(a_n) - d^{k-1}(a_{n-1}) \,
A diferencia de la ecuación es una ecuación compuesta por a_n y sus diferencias. Cada relación de recurrencia puede ser formulada como una ecuación de diferencia. Por el contrario, cada ecuación de diferencia puede ser formulada como una relación de recurrencia. Algunos autores así utilizan los dos términos intercambiables. Por ejemplo, la ecuación de la diferencia:
3 d^2 (a_n) + 2d (a_n) + 7a_n = 0 \,
es equivalente a la relación de recurrencia:
12 a_n = 8 a_{n-1} - 3 a_{n-2} \,
De este modo se puede resolver relaciones de recurrencia por la reiteración como ecuaciones diferencia, y luego la solución de la ecuación de diferencia, análogamente como una solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ver escala de tiempo de cálculo para la unificación de la teoría de las ecuaciones de diferencia con la de las ecuaciones diferenciales.
Resolución
Sean
c_0 a_n + c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \cdots + c_ka_{n-k} =0
una ecuación de recurrencia lineal homogénea, x^k + c_{n-1}x^{k-1} + \cdots + c_{n-k} su ecuación característica y, x_1, x_2, \cdots, x_s las raíces de la ecuación característica con multiplicidades m_1,m_2,\cdots,m_s respectivamente. La solución de esta ecuación sería:
a_n = P_1(n)(x_1)^n+P_2(n)(x_2)^n + \cdots + P_s(n)(x_s)^n
Con P_i(n)\ el polinomio de grado menor o igual que m_{i}-1\, . Para poder calcular los coeficientes de los polinomios P_i(n)\, , necesitamos saber las condiciones iniciales de la ecuación de recurrencia.
Ejemplo : Números de Fibonacci
Los números de Fibonacci están definidos usando la siguiente relación de recurrencia lineal:
F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2} \,
con los valores iniciales:
F_1 = 0 \,
F_2 = 1 \,
La secuencia de los números de Fibonacci comienza: 0, 1, 1, 2, 3 ,5, 8, 13, 21 ,34, 55, 89... El objetivo de la resolución de la ecuación de recurrencia es encontrar una forma cerrada para calcular los números de Fibonacci.
La ecuación característica es la siguiente:
x^2 - x - 1 = 0 \,
x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \,
x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \,
por lo tanto, la solución general es:
F(n) = A_1 \left( \frac {1+\sqrt{5}} {2} \right)^n + A_2 \left( \frac {1-\sqrt{5}} {2} \right)^n
Para hallar el valor de A_1 y A_2 resolvemos las siguientes ecuaciones:
F_1 = A_1 \left ( \frac {1+\sqrt{5}} {2} \right ) + A_2 \left ( \frac {1-\sqrt{5}} {2} \right )
F_2 = A_1 \left ( \frac {1+\sqrt{5}} {2} \right )^2 + A_2 \left ( \frac {1-\sqrt{5}} {2} \right )^2
Entonces:
A_1 = \frac {1} {\sqrt{5}}
y
A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}
La forma cerrada para los números de Fibonacci es:
F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right)

Ecuación de Recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes

Recibe el nombre de ecuación de recurrencia lineal no homogénea de grado k, con coeficientes constantes, una expresión del tipo: c_0a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} +\cdots+ c_ka_{n-k} =F(n) , c_i\in \mathbf{R} , c_k \ne 0.
Resolución
La solución general sería: a_n=a_n^{(h)} + a_n^{(p)} , donde a_n^{(h)} es la solución de la ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada es decir la ecuación : c_0a_n + c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} +\cdots+ c_ka_{n-k} =0 , c_i\in \mathbf{R} , c_k \ne 0 y donde a_n^{(p)} es la solución particular que depende de la función F(n). Por lo tanto los pasos a seguir serían, primero calcular la solución de la ecuación homogénea, calcular una solución particular para F(n) y sumarla a la homogénea, y a continuación aplicar las condiciones iniciales para calcular las constantes. En la siguiente tabla, encontramos cuales son las posibles soluciones particulares:
F(n) {a_n}^{(p)}
C,\rm constante C_0, \rm constante
n C_0+C_1n
n^2 C_0+C_1n+C_2n^2
n^t,t\in \mathbf{Z}^+ C_0+C_1n+\cdots+C_tn^t
r^n, r\in \mathbf{R} C_0r^n
n^tr^n r^n(C_0+C_1n+C_2n^2)
\sin(An),A\in \mathbf{R} C_0\sin(An)+C_1\cos(An)
\cos(An), A\in \mathbf{R} C_0\sin(An)+C_1\cos(An)
r^n\sin(An), A\in \mathbf{R} C_0r^n\sin(An)+C_1r^n\cos(An)
r^n\cos(An), A\in \mathbf{R} C_0r^n\sin(An)+C_1r^n\cos(An)
  • Consideraciones:
1.- Si F(n) es una combinación lineal de algunas de las funciones de la tabla anterior, su solución particular es la combinación lineal de las soluciones particulares de esas mismas funciones.
2.- Si uno de los sumandos de F(n) es el producto de una constante por una solución de la ecuación característica homogénea asociada, entonces es necesario multiplicar la solución particular correspondiente a este sumando por la menor potencia de n, n´ tal que este nuevo producto no sea solución de la ecuación característica homogénea asociada.
Ejemplo: Torres de Hanói
La ecuación de recurrencia asociada con el problema de las Torres de Hanói es la siguiente:
T_{n} =2 T_{n-1}+1 \,
Con las condiciones iniciales:
T_1=1 \,
Se resuelve la siguiente homogénea:
T_n^{(h)}=2T_{n-1}
La ecuación característica es: x-2=0, entonces x=2
Entonces : T_n^{(h)}= A2^n
A continuación, se resuelve la ecuación particular: T_n^{(p)} =B=2B+1, entonces B=-1 .
T_n = A2^n-1 \, , entonces igualando con las condiciones iniciales la solución es : T_n = 2^n-1 \,

Recurrencias No lineales

Para resolver recurrencias no lineales tenemos muchas opciones de las cuales:
  • Buscar transformaciones o cambios de variables que hagan la recurrencia lineal.
  • Para el caso t(n) = a \cdot t \left ( \frac{n}{b} \right ) + f(n) , hay un teorema muy útil que es el Teorema Maestro.

La recurrencia en la computación

La conexión con el análisis de algoritmos estriba en que la forma que se ha adoptado para medir las complejidades, utiliza funciones cuyo dominio son los números naturales, o en otras palabras, sucesiones. Si el algoritmo es recurrente, es de esperarse que las complejidades, como funciones que estiman la demanda de recursos a lo largo de la ejecución, sean sucesiones que satisfacen ciertas ecuaciones de recurrencia. En un algoritmo recursivo, la función t(n) que establece su complejidad viene dada por una ecuación de recurrencia. Una ecuación de recurrencia nos permiten indicar el tiempo de ejecución para los distintos casos del algoritmo recursivo (casos base y recursivo).

Ejemplo : Cálculo del factorial

int Fact(int n){
        if(n<=0)
            return 0;
        else if(n==1)
            return 1;
        return n*Fact(n-1);
}
Considerando el producto como operación básica, podemos construir la ecuación recurrente para calcular la complejidad del algoritmo como sigue:
Como se ve en el código el caso base es para n<=1, para estos valores de n el número de multiplicaciones que se realiza es 0. Y en otro caso es 1 más las necesarias para calcular el factorial de n-1. Así construimos la función recurrente:
t(n) = \begin{cases} 0 & \mbox{si } n \le 1 \\ t(n-1) + 1 & \mbox{si } n > 1 \end{cases}
Ahora si resolvemos la ecuación recurrente sabremos la complejidad de este algoritmo en función de n. Procedemos a resolver esta ecuación recurrente no lineal:
t(n) = t(n-1) - 1 \,
resolvemos la homogénea:
t(n) = t(n-1) \longrightarrow \quad r - 1 = 0 \longrightarrow \quad r = 1 a_n^h = c 1^n \longrightarrow \quad a_n^h = c
resolvamos ahora la particular:
como la particular' coincide con la r, debemos aumentar el grado multiplicando por n
\longrightarrow a_n^p = n 1^n \longrightarrow \quad a_n^p = n
por lo que la solución de la ecuación recurrente queda como sigue:
t(n) = c + n \,
Ahora calculamos c utilizando el caso base, t(1) = 0
t(1) = c + 1 = 0 \longrightarrow \quad c = -1
ya tenemos la solución: t(n) = n - 1
La ecuación que nos ha quedado es de grado 1 por lo que la complejidad es del orden exacto de n -> θ(n)
Por ejemplo para calcular el factorial de 3 necesitaremos t(3) productos lo que es igual a
3 - 1 = 2 \longrightarrow \quad 3 \cdot (2 \cdot (1))

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