Permutacion y Convinacion

Función de distribución

Función de Distribución Acumulativa para la distribución normal en la siguiente imagen.

Función de Densidad de Probabilidad para varias distribuciones normales. El trazo rojo distingue la distribución normal estándar.

En la teoría de la probabilidad y en estadística, una función de distribución acumulada (fda) describe la probabilidad de que una variable aleatoria real X sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad se sitúe en la zona de valores menores o iguales a x.
Intuitivamente, asumiendo la función f como la ley de distribución de probabilidad, la fda sería la función con la recta real como dominio, con imagen del área hasta aquí de la función f, siendo aquí el valor x para la variable aleatoria real X.
La fda asocia a cada valor x, la probabilidad del evento: "la variable X toma valores menores o iguales a x".
Las Funciones de Distribución Acumulativa se emplean también para especificar la distribución de variables aleatorias multivariantes

Combinaciones y permutaciones

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

	"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
	"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

	Si el orden no importa, es una combinación.
	Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Con otras palabras:

Una permutación es una combinación ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n^r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 10³ = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

	La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:

• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa	El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1	1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 560
3!(16-3)!		3!×13!		6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14	=	3360	= 560
3×2×1		6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"

... o mejor todavía...

¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!	=	16!	=	16!	= 560
3!(16-3)!		13!(16-13)!		3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

1. Combinaciones con repetición

OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son {c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

	Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
	Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:

{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5+3-1)!	=	7!	=	5040	= 35
3!(5-1)!		3!×4!		6×24

  

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 

GENERALIZADAS

Teorema:
Supóngase que una sucesión S de n objetos tien n₁ objetos idénticos del tipo 1, n₂ objetos idénticos del tipo 2, . . . , n_t objetos idénticos del tipo t. Entonces el número de ordenaciones de S es:

Demostración:
Se asignan las posiciones de cada uno de los n objetos para crear un orden de S. Es posible asignar las posiciones de los n1 objetos del tipo 1 en C(n, n₁) formas. Una vbez realizada estas asignación, pueden asignarse las posiciones de los n₂ objetos del tipo 2 en C(n - n₁, n₂) maneras, etc. Por lo tanto

Ejemplos:
a) ¿De cuántas maneras es posible ordenar las siguiente letras ?

MISSISSIPPI

Debido a la repetición de algunas letras, la respuesta no es 11!, pero si un número menor a 11!.

Consideremos el problema de llenar 11 espacios en blanco

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

con las letras dadas. Hay maneras de escoger posiciones para las dos letras P. Una vez seleccionadas las dos P, existen manera de elegir posiciones para las cuatro S. Una vez seleccionas las posiciones para las letars S, hay maneras de escoger lugares para las letras I. Una vez realizadas estas elecciones, quesa un único lugar para ser llenado por la letra M. Por el Teorema anterior, directamente existen maneras de ordenar dichas letras.

b) De cuántos modos se pueden repartir ocho libros distintos entre tres estudiantes si Guillermo recibe cuatro libros, en tanto que Maria y Silvia reciben 2 cada una.

Sea G = Guillermo, S = Sofia y M = Maria.

Unos ejemplos de ordenación serian GGGGSSMM, GGGSMGMS, MMSSGGGG, etc.

Cada uno de estos ordenamientos determina una distribución de libros. Por lo que existen maneras de repartir los libros.

c) ¿De cuantas maneras pueden formarse tres comités distintos de un grupo de 20 personas, si los comités deben tner 3, 5 y 7 personas respectivamente?

La respuesta es

d) Una partida de Bridge es una partición ordenada de 52 cartas que comprende 4 conjuntos de 13 cartas cada uno. Por lo tanto hay partidas de Bridge.

e) ¿De cuántas maneras posibles pueden distribuirse 12 estudiantes en 3 grupos, con 4 estudiantes cada grupo, de manera que un grupo estudie un tema, el otro un tema diferente y el tercero otro diferente a los dos anteriores?

En total hay posibles maneras de distribuir a los estudiantes.

f) ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 19 estudiantes en 5 grupos, 2 grupos de 5 y 3 grupos de 3, de manera que cada grupo estudie un tema distinto?

En total hay posibles maneras de distribuir a los estudiantes.

g) ¿De cuantás formas es posible hacer una partición de un conjunto de 100 elementos en 50 conujuntos diferentes de 2 elementos cada uno?

La respuest es formas posibles.

De forma más general puede enunciarse el mismo problema de la siguiente manera ¿De cuántas formas es posible hacer una partición de un conjunto conm 2n elementos en n conjuntos de 2 elelmentos cada uno?.

Entonces la respuesta es formas posibles.

Teorema:
Si X es un conjunto que contiene n elementos, entonces el número de selecciones de r elementos, no ordenadas, con repeticiones permitidas y tomando del conjunto X es:

NOTA:
Es posible que r sea mayor que n cuando se permiten repeticiones.

Ejemplos:
a) Supongase que se tienen 3 pilas de pelotas rojas, azules y verdes y cada una contiene al menos 8 pelotas.
i) ¿De cuántos modos se pueden seleccionar 8 pelotas?
ii) ¿De cuántas maneras de pueden seleccionar 8 pelotas si se debe tener al menos una de cada color?

Por el Teorema anterior, el número de formas para elegir 8 pelotas es .

También se puede aplicar el Teorema para resolver la parte ii). Si se selecciona una pelota de cada color. Para completar la elección, deben escogerse 5 pelotas más. Esto se puede hacer de formas diferentes.

b)¿De cuántas maneras es posible colocar 10 canicas rojas en 5 bolsas?

La respuesta es maneras posibles.

c) ¿De cuántas maneras es posible seleccionar 10 monedas de un abasto ilimitado de monedas de cincuenta, cien, doscientos y quinientois pesos?

Entonces es posible seleccionar formas distintas.

d) De cuántas formas pueden distribuirse 12 libros idénticos de matemáticas discretas entre 4 estudiantes.

En total se pueden distribuir formas diferentes.

e) Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x₁ + x₂ +x₃ + x₄ = 29

Cada solución es equivalente a elegir 29 elementosm x_i del tipo i, i = 1, 2, 3, 4.El número solución es.

f) Una tienda ofrece 20 tipos de donas. Si suponemos que al menos hay una docena de cada tipo cuando entramos a la tienda, podemos elegir una docena de donas de opciones posibles.

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