Análisis de algoritmos

El análisis de algoritmos es una parte importante de la Teoría de complejidad computacional más amplia, que provee estimaciones teóricas para los recursos que necesita cualquier algoritmo que resuelva un problema computacional dado. Estas estimaciones resultan ser bastante útiles en la búsqueda de algoritmos eficientes.
A la hora de realizar un análisis teórico de algoritmos es común calcular su complejidad en un sentido asintótico, es decir, para un tamaño de entrada suficientemente grande. La cota superior asintótica, y las notaciones omega (cota inferior) y theta (caso promedio) se usan con esa finalidad. Por ejemplo, la búsqueda binaria decimos que se ejecuta en una cantidad de pasos proporcional a un logaritmo, en O(log(n)), coloquialmente "en tiempo logarítmico". Normalmente las estimaciones asintóticas se utilizan porque diferentes implementaciones del mismo algoritmo no tienen por qué tener la misma eficiencia. No obstante la eficiencia de dos implementaciones "razonables" cualesquiera de un algoritmo dado están relacionadas por una constante multiplicativa llamada constante oculta.
La medida exacta (no asintótica) de la eficiencia a veces puede ser computada pero para ello suele hacer falta aceptar supuestos acerca de la implementación concreta del algoritmo, llamada modelo de computación. Un modelo de computación puede definirse en términos de un ordenador abstracto, como la Máquina de Turing, y/o postulando que ciertas operaciones se ejecutan en una unidad de tiempo. Por ejemplo, si al conjunto ordenado al que aplicamos una búsqueda binaria tiene 'n' elementos, y podemos garantizar que una única búsqueda binaria puede realizarse en un tiempo unitario, entonces se requieren como mucho log₂ N + 1 unidades de tiempo para devolver una respuesta.
Las medidas exactas de eficiencia son útiles para quienes verdaderamente implementan y usan algoritmos, porque tienen más precisión y así les permite saber cuánto tiempo pueden suponer que tomará la ejecución. Para algunas personas, como los desarrolladores de videojuegos, una constante oculta puede significar la diferencia entre éxito y fracaso.
Las estimaciones de tiempo dependen de cómo definamos un paso. Para que el análisis tenga sentido, debemos garantizar que el tiempo requerido para realizar un paso se encuentre acotado superiormente por una constante. Hay que mantenerse precavido en este terreno; por ejemplo, algunos análisis cuentan con que la suma de dos números se hace en un paso. Este supuesto puede no estar garantizado en ciertos contextos. Si por ejemplo los números involucrados en la computación pueden ser arbitrariamente grandes, dejamos de poder asumir que la adición requiere un tiempo constante (usando papel y lápiz, compara el tiempo que necesitas para sumar dos enteros de 2 dígitos cada uno y el necesario para hacerlo con dos enteros pero de 1000 dígitos cada uno).

Grafo

Grafo etiquetado con 6 vértices y 7 aristas.

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.¹ Son objeto de estudio de la teoría de grafos.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).
Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

Historia y problema de los puentes de Königsberg

Los siete puentes de Königsberg.

El primer artículo científico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas. Dos de los puentes unen la isla mayor con la margen oriental y otros dos con la margen occidental. La isla menor está conectada a cada margen por un puente y el séptimo puente une ambas islas. El problema planteaba lo siguiente: ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo solo una vez cada uno y regresando al mismo punto de partida?
Abstrayendo este problema y planteándolo con la (entonces aún básica) teoría de grafos, Euler consigue demostrar que el grafo asociado al esquema de puentes de Königsberg no tiene solución, es decir, no es posible regresar al vértice de partida sin pasar por alguna arista dos veces.
De hecho, Euler resuelve el problema más general: ¿qué condiciones debe satisfacer un grafo para garantizar que se puede regresar al vértice de partida sin pasar por la misma arista más de una vez? Si definimos como «grado» al número de líneas que se encuentran en un punto de un grafo, entonces la respuesta al problema es que los puentes de un pueblo se pueden atravesar exactamente una vez si, salvo a lo sumo dos, todos los puntos tienen un grado par.

Definiciones

Un grafo

G

es un par ordenado

G=(V,E)

, donde:

$V$ es un conjunto de vértices o nodos, y
$E$ es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente

V

suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.
Se llama orden del grafo

G

a su número de vértices,

|V|

.
El grado de un vértice o nodo

v \in V

es igual al número de arcos que lo tienen como extremo.
Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.
Dos o más aristas son paralelas si relacionan el mismo par de vértices.

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo

G = (V, E)

donde:

$V\neq\emptyset$
$E\subseteq \{x\in\mathcal P(V): |x|=2\}$ es un conjunto de pares no ordenados de elementos de $V\,$ .

Un par no ordenado es un conjunto de la forma

\{a, b\}

, de manera que

\{a, b\}=\{b, a\}

. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de

V

, denotado

\mathcal P(V)

, y son de cardinalidad 2.

Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo

G = (V, E)

donde:

$V\neq\emptyset$
$E \subseteq \{(a,b) \in V \times V: a \neq b \}\,$ es un conjunto de pares ordenados de elementos de $V\,$ .

Dada una arista

(a,b)

a

es su nodo inicial y

b

su nodo final.
Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.
Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

Variantes sobre las definiciones principales

Algunas aplicaciones requieren extensiones más generales a las dos propuestas clásicas de grafos. Aunque la definición original los permite, según la aplicación concreta pueden ser válidos o no. A veces

V

E

pueden ser un multiconjunto, pudiendo haber más de una arista entre cada par de vértices. La palabra grafo (a secas) puede permitir o no múltiples aristas entre cada par de vértices, dependiendo del autor de la referencia consultada. Si se quiere remarcar la inexistencia de múltiples aristas entre cada par de vértices (y en el caso no dirigido, excluir bucles) el grafo puede llamarse simple. Por otra parte, si se quiere asegurar la posibilidad de permitir múltiples aristas, el grafo puede llamarse multigrafo (a veces se utiliza el término pseudografo para indicar que se permiten tanto bucles como múltiples aristas entre cada par de vértices).

Propiedades

Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une.
Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.
Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto.
Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.

Ejemplos

La imagen es una representación del siguiente grafo:

V:={1,2,3,4,5,6}
E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

En la teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.

Grafos particulares

Existen grafos que poseen propiedades destacables. Algunos ejemplos básicos son:

Grafo nulo: aquel que no tiene vértices ni aristas. Nótese que algunas personas exigen que el conjunto de vértices no sea vacío en la definición de grafo.
Grafo vacío: aquel que no tiene aristas.
Grafo trivial: aquel que tiene un vértice y ninguna arista.
Grafo simple: aquel que no posee bucles ni aristas paralelas. Consultar variantes en esta definición.
Multigrafo (o pseudografo): G es multigrafo si y solo si no es simple. Consultar variantes en esta definición.
Grafo completo: grafo simple en el que cada par de vértices están unidos por una arista, es decir, contiene todas las posibles aristas.
Grafo bipartito: sea $(W, X)$ una partición del conjunto de vértices $V$ , es aquel donde cada arista tiene un vértice en $W$ y otro en $X$ .
Grafo bipartito completo: sea $(W, X)$ una partición del conjunto de vértices $V$ , es aquel donde cada vértice en $W$ es adyacente sólo a cada vértice en $X$ , y viceversa.
Grafo plano: aquel que puede ser dibujado en el plano cartesiano sin cruce de aristas.
Árbol: grafo conexo sin ciclos.
Grafo rueda: grafo con n vértices que se forma conectando un único vértice a todos los vértices de un ciclo-(n-1).
Grafo perfecto aquel que el número cromático de cada subgrafo inducido es igual al tamaño del mayor clique de ese subgrafo.

Una generalización de los grafos son los llamados hipergrafos

Ciclo hamiltoniano

Ciclo hamiltoniano.

Un camino hamiltoniano, en el campo matemático de la teoría de grafos, es un camino de un grafo, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos los vértices del grafo una sola vez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano.
El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo arbitrario se sabe que es NP-completo.
Los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman así en honor de William Rowan Hamilton, inventor de un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, aunque su solución no era generalizable a todos los grafos.

Definición

Un camino hamiltoniano es un camino que pasa por cada vértice exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se denomina un ciclo hamiltoniano si es un ciclo que pasa por cada vértice exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega). Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se dice grafo hamiltoniano.
Estos conceptos se pueden extender para los grafos dirigidos los cuales son igual a un carro.

Ejemplos

Todos los grafos ciclos son hamiltonianos.
Todos los sólidos platónicos, (tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.) considerados como grafos, son hamiltonianos.¹

Notas

Cualquier ciclo hamiltoniano puede ser convertido en un camino hamiltoniano si se elimina cualquiera de sus aristas, pero un camino hamiltoniano puede ser extendido en ciclo sólo si los vértices de los extremos son adyacentes.

Teorema de Bondy-Chvátal

La mejor caracterización de los grafos hamiltonianos fue dada en 1972 por el teorema de Bondy-Chvátal que generalizaba los resultados anteriormente encontrados por G. A. Dirac. Básicamente dice que un grafo es hamiltoniano si existen suficientes aristas. Primero debemos definir lo que es la cerradura de un grafo.
Dado un grafo G con n vértices, la cerradura (cl(G)) es construida de manera única a partir de G agregando toda arista u-v si el par no adyacente de vértices u y v cumple que grado(v) + grado(u) ≥ n

Un grafo es hamiltoniano si y sólo si su grafo cerradura es hamiltoniano.

Bondy-Chvátal (1972)

Como todos los grafos completos son hamiltonianos, todos los grafos cuya cerradura sea completa son hamiltonianos. Este resultado se basa en los teoremas de Dirac y Ore.

Un grafo con n vértices (n > 3) es hamiltoniano si cada vértice tiene grado mayor o igual a n/2.

Dirac (1952)

Un grafo con n vértices (n > 3) es hamiltoniano si la suma de los grados de 2 vértices no adyacentes es mayor o igual que n.

Ore (1960)

Sin embargo, existe un resultado anterior a todos estos teoremas.

Un grafo con n vértices (n ≥ 2) es hamiltoniano si la suma de los grados de 2 vértices es mayor o igual que n-1.

L.Redei (1934)

Como puede verse, este teorema pide más hipótesis que los anteriores ya que la propiedad de los grados debe cumplirse para todo vértice en el grafo.

Ciclo euleriano

En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar dichos caminos fue discutido por primera vez por Leonhard Euler, en el famoso problema de los puentes de Königsberg.

Ciclos eulerianos

Dibujar un sobre abierto, como el de la imagen, sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por el mismo sitio, es posible. En cambio, dibujar el sobre cerrado (prescindiendo del punto 5 y sus líneas adyacentes) es imposible.

En la imagen,

C=\{ 1,2,3,4,6,3,5,4,1\}\,

es un ciclo euleriano, luego es un grafo euleriano.
Un grafo es una representación, un modelo, compuesto por un número determinado de vértices (nodos) y un número de arcos (aristas) que los relacionan, cada arista o arco tiene la capacidad de relacionar dos nodos. La palabra ciclo se emplea en teoría de grafos para indicar un camino cerrado en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo, como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.
Si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.

Historia

Artículo principal: Problema de los puentes de Königsberg

El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el propio Leonhard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete puentes de la ciudad de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de los grafos.
El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento).

Casos

Dado un grafo conexo (no existen nodos aislados) y no dirigido

G=(V,E\,)

, si

G\,

tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces

G\,

tiene un camino euleriano no cerrado. En caso de que todos los vértices tengan grado par,

G\,

tiene un ciclo euleriano.

Teorema

Dado

G(V,E\,)

no orientado y conexo; si tiene

2k\,

nodos de grado impar, entonces

G\,

puede ser escrito como unión de

k\,

caminos (simples) distintos sobre los arcos y valen las siguientes expresiones:

G\,

es euleriano;

\forall v\in\ V

con grado

(v) \ge 2

y par.

G=\coprod_{i=1}^n C_i

todos disjuntos (caminos distintos) en los arcos,

es decir

C^E_i \cap \; C^E_j = \emptyset\;

con

{i \not\ne \; j}

\forall C_i

va de un nodo de grado impar a un nodo de grado impar.
Un grafo admite un camino euleriano cuando tiene exactamente dos nodos de grado impar (conexos a los caminos).

Propiedades

Un grafo conexo y no dirigido se dice que es euleriano si cada vértice tiene un grado par.
Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y si se puede descomponer en uno con los vértices disjuntos.
Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces su gráfo-línea L(G) se dice que es también euleriano.
Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y cada vértice tiene grados internos iguales a los externos.
Un grafo no dirigido se dice que es susceptible de ser recorrido (en inglés: traversable) si es conexo y dos vértices en el grafo tienen grado impar.

Contando circuitos eulerianos en dígrafos

El número de circuitos euleriano en los dígrafos puede ser calculado mediante el teorema denominado en Inglés: BEST-theorem, procedente de los nombres de sus fundadores: de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith y Tutte.
En dicho teorema se menciona que dado un dígrafo euleriano G := (V, E), el número ciclos eulerianos no-equivalentes en el grafo es

C \prod_{v \in V}(\deg^+(v)-1)!

o equivalentemente

C \prod_{v \in V}(\deg^-(v)-1)!

siendo C cualquier cofactor de la matriz laplaciana de G.

Representación de grafos

Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Estructura de lista

lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas^,.

lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

Estructuras matriciales

Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño $n^2$ , donde $n$ es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento $m_{x, y}$ es 1, de lo contrario, es 0.

Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)

Grafo G(V,A)	Conjuntos	Matriz de adyacencia	Matriz de incidencia	Secuencia de grados	Lista de Adyacencia
	V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A = { {1,1}, {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} }	$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$	(4,3,3,3,2,1)	{ {1,2,5}, {3,5}, {4}, {5,6} }

Problemas de teoría de grafos

Ciclos y caminos hamiltonianos

Ejemplo de un ciclo Hamiltoniano.

Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).
Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).
Se habla también de Camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.
Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.
El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas. El problema de las tres casas y los tres pozos tiene solución sobre el toro, pero no en el plano.

Grafos planos

Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.
Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?
Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.
Sea K_n el grafo completo con n vértices, K_{n, p} es el grafo bipartito de n y p vértices.
El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartito completo K_3,3 es plano, es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo no es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como menor) a K₅ o a K_3,3.
Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.

Coloración de grafos

Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable λ, llamada polinomio cromático de G, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo de λ colores.
Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε, entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el grafo se obtene por contracción de aristas.
Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0
Sea G=(V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0.
Sea G=(V, E), con a, b pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000

Teorema de los cuatro colores

Artículo principal: Teorema de los cuatro colores

Mapa coloreado con 4-colores.

Grafo dual asociado al mapa con una 4-vértice coloración.

Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido:
Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.
El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo método.
La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.
Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha comunidad.

Caracterización de grafos

Grafos simples

Un grafo es simple si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.
Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.

Grafos conexos

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).
En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

Grafo conexo y no conexo

Grafos completos

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.
El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente

\mathbb{K}

, siendo

\mathbb{K}_n

el grafo completo de n vértices.
Un

\mathbb{K}_n

, es decir, grafo completo de

n

vértices tiene exactamente

\frac{n(n-1)}{2}

aristas.
La representación gráfica de los

\mathbb{K}_n

como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Grafos bipartitos

Un grafo G es bipartito si puede expresar como

G = \{V_1 \cup V_2, A\}

(es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:

$V_1$ y $V_2$ son disjuntos y no vacíos.
Cada arista de A une un vértice de V₁ con uno de V₂.
No existen aristas uniendo dos elementos de V₁; análogamente para V₂.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

Homeomorfismo de grafos

Dos grafos

G_1

G_2

son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.

Árboles

Ejemplo de árbol.

Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay n^n-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

Grafos ponderados o etiquetados

En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un grafo valuado.
Formalmente, es un grafo con una función v: A → R₊.
Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.
Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminos desde a hasta b, sin más condición.

Diámetro

En la figura se nota que K₄ es plano (desviando la arista ab al exterior del cuadrado), que K₅ no lo es, y que K₃,₂ lo es también (desvíos en gris).

En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El diámetro, en una figura como en un grafo, es la mayor distancia de entre todos los pares de puntos de la misma.
El diámetro de los K_n es 1, y el de los K_n,_p es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es conexo. También se puede considerar el diámetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vértices.
El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del diámetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, y escogemos dos páginas web al azar: ¿En cuántos clics se puede pasar de la primera a la segunda? El resultado es el diámetro de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces.
En el mundo real hay una analogía: tomando al azar dos seres humanos del mundo, ¿En cuántos saltos se puede pasar de uno a otro, con la condición de sólo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente? Con esta definición, se estima que el diámetro de la humanidad es de... ¡ocho solamente!
Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.

Árbol
Árbol etiquetado con 6 vértices y 5 aristas. El único camino simple que conecta los vértices 2 y 6 es 2-4-5-6.

martes, 1 de diciembre de 2015

arboles

Árbol (teoría de grafos)

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